Nombre flottant en base 2

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📈 Objectifs du cours

• Calculer la représentation binaire de nombres réels
• Comprendre les problèmes liés à la représentation des nombres réels

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Première approche

Notation scientifique d'un nombre

En sciences, pour représenter les nombres décimaux, on utilise la notation scientifique.

Un nombre est en notation scientifique s’il s’écrit sous la forme $± a \times 10^n$.

• $±$ signifie le signe du nombre
• $a$ est la mantisse où $a \in [1, 10[$
• $n$ est l'exposant où $n \in \mathbb{Z}$

Exemples : Prenons $103,56 = +1,0356 \times 10^2$.

En base 2

Pour représenter un nombre décimal, on va utiliser une méthode semblable en base 2.

• Un signe
• Une mantisse commençant par 1
• Un exposant entier

Exemples :

$1011,1101_{2} = +1,0111101 \times 10^3$

Le signe est +, la mantisse est 1,0111101 et l’exposant 3 car on a décalé la virgule de 3 rangs vers la droite.

En utilisant cette norme on a nécessairement 1 comme chiffre le plus à gauche et on peut sousentendre la virgule qui vient juste après. Il reste à voir comment on procède dans une machine où la place mémoire attribuée pour représenter un flottant est définie à l’avance. Avant voyons comment convertir en binaire la partie décimale d’un nombre.

Convertir un réel en binaire

On divise notre nombre en 2 partie : la partie entière et la partie décimale.

Prenons $11,375_{10}$ comme exemple.

La partie entière est $11_{10}$ et la partie décimale est $375_{10}$.

Pour convertir un réel en binaire, on va utiliser 2 méthodes différentes :

• Pour la partie entière, nous avons vu la méthode des divisions successives par 2.

  Par exemple, on a $11_{10} = 1011_{2}$.

• Par la partie décimale on effectue des multiplications successives par $2$ en conservant à chaque fois la partie entière du produit ($0$ ou $1$) jusqu’à ce qu’il reste $0$.

  Par exemple, on a :

  $$\begin{aligned} 0,375_{10} \times 2 = 0,75 &\rightarrow 0 \\ 0,75_{10} \times 2 = 1,5 &\rightarrow 1 \\ 0,50_{10} \times 2 = 1,00 &\rightarrow 1 \\ 0,00_{10} \times 2 = 0,00 &\rightarrow 0 \\ \end{aligned}$$

  Donc $0,375_{10} = 0110_{2}$.

Exercice

Donnez les représentations binaires des nombres suivants :

• $0,578125_{10}$
• $0,8_{10}$

Attention

Un nombre à développement décimal fini en base 10 ne l’est pas forcément en base 2.

Ex: $0,8$ a un développement binaire infini en base 2.