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Entiers relatifs en base 2

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📈 Objectifs du cours​

  • Comprendre la représentation des entiers relatifs en binaire (valeurs positives et négatives)
  • Appliquer la méthode du complément à 2 pour coder des entiers signés sur 8 bits
  • Évaluer le nombre de bits nécessaires à la représentation d’un entier dans un contexte donné

Représentation binaire d'un entier relatif (signé)​

Représentation signée : pourquoi ?​

Les ordinateurs représentent les nombres sous forme binaire, mais les entiers peuvent être positifs ou négatifs.

On peut alors choisir de les représenter avec un bit de signe (0 pour positif, 1 pour négatif). Par exemple, 7107_{10} s'écrit 1112111_{2}. Pour représenter 7107_{10}, on peut écrire 011120111_{2} (avec un bit de signe). Pour −710-7_{10}, on peut écrire 111121111_{2} (avec un bit de signe). Cependant, il y a un problème : 111121111_{2} peut aussi être interprété comme 151015_{10} (sans bit de signe).

Pour lever cette ambiguïté, il faut décider :

  • de la taille du mot binaire qui va représenter l'entier, c'est-à-dire le nombre de bits
  • d'une façon efficace de représenter les nombres négatifs
Attention

Fixons une taille de 8 bits (1 octet). On serait tenter de s'arrêter là, mais il y deux gros problèmes :

  • Le nombre 0100_{10} peut être représenté de plusieurs façons, par exemple 00000000200000000_{2} ou 10000000210000000_{2}.
  • L'addition telle qu'on l'a connait ne fonctionnerait plus.

Pour éviter ces problèmes, il existe une méthode magique, la technique du complément à 2 (ou C2).

Le complément à 2 : principe​

Codage des entiers signés sur 8 bits​

  • Les valeurs possibles vont de -128 à 127
  • Le bit de poids fort (le premier à gauche) est le bit de signe :
    • 0xxxxxxx ➜ positif
    • 1xxxxxxx ➜ négatif

✅ Pour coder un entier négatif :​

  1. On prend la valeur positive de l'entier et on la code sur 8 bits
  2. On inverse les bits (complément à 1)
  3. On ajoute 1 au résultat

Exemple : −4210-42_{10} en binaire

42=001010102Compleˊment aˋ 1=110101012+1=110101102−42=110101102\begin{aligned} 42 &= 00101010_{2} \\ \text{Complément à 1} &= \textcolor{red}{11010101}_{2} \\ + 1 &= 110101\textcolor{red}{10}_{2} \\ -42 &= 11010110_{2} \end{aligned}

🔠 Décodage : retrouver l'entier signé​

  • Si le bit de gauche est 0, on lit normalement
  • Si le bit de gauche est 1, on applique le complément à 1 inverse
    1. On inverse les bits
    2. On ajoute 1 au résultat
    3. On lit le résultat en décimal et on ajoute le signe −- à la valeur

Exemple : 11111101211111101_{2}

:111111012Inverse:000000102+1:000000112000000112=310111111012=−310\begin{aligned} &: 11111101_{2} \\ \text{Inverse} &: \textcolor{red}{00000010}_{2} \\ + 1 &: 0000001\textcolor{red}{1}_{2} \\ 00000011_{2} &= 3_{10} \\ 11111101_{2} &= -3_{10} \end{aligned}

🦜 Astuce​

Sur 8 bits, on peut coder :

  • 272^7 = 128 valeurs positives (de 0 à 127)
  • 272^7 = 128 valeurs négatives (de -128 à -1)

Donc 282^8 = 256 combinaisons totales.

📊 Cas concrets : combien de bits ?​

Quel est le nombre de bits nécessaire pour coder une température allant de -20 à +30°C ?

Réponse
  • L'amplitute totale est de 30−(−20)+1=5130 - (-20) + 1 = 51.
  • 2n≥512^n \geq 51.
  • On trouve n=6n = 6.
  • Donc il faut 6 bits minimum pour coder une température allant de -20 à +30°C.

🎯 Entraînement interactif​

Quel entier est codé par : 11110011 ?
TODO

Exercie conversion base 10 -> base 2

🔗 Liens utiles​

Pour aller plus loin​

  • Ecrire un programme qui convertit un entier en binaire et en hexadécimal.
  • Ecire une fonction qui convertir un entier en octal (base 8).